Skjuvspänningar

Allmänna fallet

För att beräkna statiska ytmomentet för generella delar av generella tvärsnitt får man studera härledningen av Jourawskis formel (G-T, sec. 5.5) för att få ut tecken. I Fig. 1 ges en "kortversion" av denna härledning uppritad. Momentet i Fig. 1a kommer att ge upphov till spänningar som varierar med x (om momentet varierar med x). Om man snittar i x-riktningen någonstans på balken, som i Fig. 1b, så ser man att momentändringen gör att den snittade delen inte är i balans. På grund av detta måste man införa en balanserande skjuvspänningar i snittet. För den undre delen (negativt skjuvsnitt) går dessa i negativ x-riktning och för den övre delen (positivt skjuvsnitt) positiv x-riktning. I första fallet balanserar de upp ett ³överskott av dragspänning² och i det andra fallet ett ³överskott av tryckspänning². Riktningen för skjuvspänningarna i det studerade skjuvsnittet visas i Fig. 1c. Skjuvspänningarnas riktning i x-led har vi beräknat via jämvikten i Fig. 1b. Riktningen på de skjuvspänningarna i y-led fås via regeln om riktning på kompletterande skjuvspänningar, se G-T sec.1.6.

Beräkning m.h.a. Jourawskis formel

Böjskjuvspänningar beräknas ofta m.h.a. Jourawskis formel (ekv.1):

I denna formel är det bara Q och V som kan ha negativa tecken. I och b är alltid positiva. För att få rätt riktning med denna formel gäller det att ha rätt tecken på V och Q.

OBS! När det gäller mer generella tvärsnitt, så gäller inte texten nedan på grund av att man inte lika lätt kan identifiera positiva skjuvspänningsriktningar, utan den allmänna härledningen måste användas för att identifiera skjuvflödets riktning!

Tecken på statiskt ytmoment

Börja med att snitta från positiv ände. D.v.s. bortskjuvad area är arean mellan det snitt där statiska ytmomentet beräknas och positiv yta.
Hävarmen sätts in med rätt tecken (d.v.s. positivt i detta fall).

Lägg märke till att det statiska ytmomentet av A och A* m.a.p. en axel genom tvärsnittets tyngdpunkt tillsammans blir 0 (d.v.s. Q(A) = -Q(A*)). Ansätter vi bortskjuvad area som arean mellan snittet till en negativ yta, så får vi istället ett negativt tecken på statiska ytmomentet (p.g.a. negativ hävarm).

Tecken på tvärkraft

Ansätt positiv tvärkraftsriktning enligt konvention (se Fig. 2)
Tvärkraften räknas ut och ges tecken enligt konvention. (Detta innebär att vi får en negativ tvärkraft i fallet i Fig. 3).

Positiv snittyta

Använder man teckenkonventionerna ovan för att beräkna det statiska ytmomentet, samt tvärkraften, så ger Jourawskis formel rätt tecken på skjuvspänningarna som verkar på en positiv snittyta (d.v.s. en yta som vätter mot positiv y- eller x- riktning). För en negativ snittyta är skjuvspännings-riktningen motsatt den som Jourawskis formel ger. Detta visas i Fig. 4, där en positiv tvärkraft ger en positiv skjuvspänning (verkar i positiv y-riktning) på den positiva snittytan (m.a.p. x-axeln) och en negativ skjuvspänning på den negativa snittytan. I Fig. 1c ser man hur en positiv tvärkraft ger upphov till en positiv skjuvspänning (verkar i positiv x-riktning) på den positiva snittytan (m.a.p. y-axeln) och en negativ skjuvspänning på den negativa snittytan.

Skjuvspänning i balkflänsar

I fallet då man snittar i en fläns är det lite mer komplicerat att hitta riktningen för skjuvspänningen. En lämplig metod är att hitta riktningen på skjuvspänningar i livet och sedan använda att skjuvflödet måste vara kontinuerligt (se Fig. 5). Alternativt använder man metoden i G-T, exempel i sec. 5-14 (samma som den som beskrivs ovan)

Skjuvspänningar i ett balktvärsnitt

I ett tunnväggigt balktvärsnitt finns följande skjuvspänningar skiljda från noll: I livet tao_xy = tao_yx I flänsen tao_xy = tao_yx Övriga spänningar är noll beroende på att de (eller deras kompletterande skjuvspänning) verkar i riktning mot en fri rand, se Fig. 6.